\(\blacktriangleright\) Unghiul diedric este un unghi format din două semiplane și o dreaptă \(a\), care este limita lor comună.

\(\blacktriangleright\) Pentru a găsi unghiul dintre planele \(\xi\) și \(\pi\) , trebuie să găsiți unghiul liniar (și picant sau Drept) unghi diedru format din planele \(\xi\) si \(\pi\) :

Pasul 1: fie \(\xi\cap\pi=a\) (linia de intersecție a planurilor). În planul \(\xi\) marchem un punct arbitrar \(F\) și desenăm \(FA\perp a\) ;

Pasul 2: efectuați \(FG\perp \pi\) ;

Pasul 3: conform TTP (\(FG\) – perpendicular, \(FA\) – oblic, \(AG\) – proiecție) avem: \(AG\perp a\) ;

Pasul 4: Unghiul \(\angle FAG\) se numește unghiul liniar al unghiului diedru format din planele \(\xi\) și \(\pi\) .

Rețineți că triunghiul \(AG\) este dreptunghic.
De asemenea, rețineți că planul \(AFG\) construit în acest fel este perpendicular pe ambele plane \(\xi\) și \(\pi\) . Prin urmare, putem spune altfel: unghiul dintre planuri\(\xi\) și \(\pi\) este unghiul dintre două drepte care se intersectează \(c\in \xi\) și \(b\in\pi\) formând un plan perpendicular pe și \(\xi\ ) și \(\pi\) .

Sarcina 1 #2875

Nivel de sarcină: Mai dificil decât examenul de stat unificat

Având în vedere o piramidă patruunghiulară, toate marginile căreia sunt egale, iar baza este un pătrat. Găsiți \(6\cos \alpha\) , unde \(\alpha\) este unghiul dintre fețele sale laterale adiacente.

Fie \(SABCD\) o piramidă dată (\(S\) este un vârf) ale cărei muchii sunt egale cu \(a\) . În consecință, toate fețele laterale sunt triunghiuri echilaterale egale. Să găsim unghiul dintre fețele \(SAD\) și \(SCD\) .

Să facem \(CH\perp SD\) . Deoarece \(\triunghi SAD=\triunghi SCD\), atunci \(AH\) va fi și înălțimea lui \(\triunghi SAD\) . Prin urmare, prin definiție, \(\angle AHC=\alpha\) este unghiul liniar al unghiului diedric dintre fețele \(SAD\) și \(SCD\) .
Deoarece baza este un pătrat, atunci \(AC=a\sqrt2\) . Rețineți, de asemenea, că \(CH=AH\) este înălțimea unui triunghi echilateral cu latura \(a\), prin urmare, \(CH=AH=\frac(\sqrt3)2a\) .
Apoi, după teorema cosinusului din \(\triunghiul AHC\): \[\cos \alpha=\dfrac(CH^2+AH^2-AC^2)(2CH\cdot AH)=-\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad 6\cos\alpha=-2.\]

Raspuns: -2

Sarcina 2 #2876

Nivel de sarcină: Mai dificil decât examenul de stat unificat

Planele \(\pi_1\) și \(\pi_2\) se intersectează la un unghi al cărui cosinus este egal cu \(0,2\). Planele \(\pi_2\) și \(\pi_3\) se intersectează în unghi drept, iar linia de intersecție a planurilor \(\pi_1\) și \(\pi_2\) este paralelă cu linia de intersecție a avioane \(\pi_2\) și \(\ pi_3\) . Aflați sinusul unghiului dintre planele \(\pi_1\) și \(\pi_3\) .

Fie linia de intersecție a lui \(\pi_1\) și \(\pi_2\) o dreaptă \(a\), linia de intersecție a lui \(\pi_2\) și \(\pi_3\) să fie o dreaptă linia \(b\), iar linia de intersecție \(\pi_3\) și \(\pi_1\) – linie dreaptă \(c\) . Deoarece \(a\parallel b\) , atunci \(c\parallel a\parallel b\) (conform teoremei din secțiunea referinței teoretice „Geometrie în spațiu” \(\rightarrow\) „Introducere în stereometrie, paralelism").

Să marchem punctele \(A\in a, B\in b\) astfel încât \(AB\perp a, AB\perp b\) (acest lucru este posibil deoarece \(a\parallel b\) ). Să marchem \(C\in c\) astfel încât \(BC\perp c\) , prin urmare, \(BC\perp b\) . Apoi \(AC\perp c\) și \(AC\perp a\) .
Într-adevăr, deoarece \(AB\perp b, BC\perp b\) , atunci \(b\) este perpendicular pe planul \(ABC\) . Deoarece \(c\parallel a\parallel b\), atunci dreptele \(a\) și \(c\) sunt, de asemenea, perpendiculare pe planul \(ABC\) și, prin urmare, pe orice dreaptă din acest plan, în special , linia \ (AC\) .

Rezultă că \(\angle BAC=\angle (\pi_1, \pi_2)\), \(\angle ABC=\angle (\pi_2, \pi_3)=90^\circ\), \(\angle BCA=\angle (\pi_3, \pi_1)\). Se dovedește că \(\triunghiul ABC\) este dreptunghiular, ceea ce înseamnă \[\sin \angle BCA=\cos \angle BAC=0.2.\]

Răspuns: 0,2

Sarcina 3 #2877

Nivel de sarcină: Mai dificil decât examenul de stat unificat

Date drepte \(a, b, c\) care se intersectează într-un punct, iar unghiul dintre oricare dintre ele este egal cu \(60^\circ\) . Aflați \(\cos^(-1)\alpha\) , unde \(\alpha\) este unghiul dintre planul format din drepte \(a\) și \(c\) și planul format din drepte \( b\ ) și \(c\) . Dați răspunsul în grade.

Fie ca liniile să se intersecteze în punctul \(O\) . Deoarece unghiul dintre oricare dintre ele este egal cu \(60^\circ\), atunci toate cele trei drepte nu pot fi situate în același plan. Să marchem punctul \(A\) pe linia \(a\) și să desenăm \(AB\perp b\) și \(AC\perp c\) . Apoi \(\triunghi AOB=\triunghi AOC\) dreptunghiular de-a lungul ipotenuzei și unghiului ascuțit. Prin urmare, \(OB=OC\) și \(AB=AC\) .
Să facem \(AH\perp (BOC)\) . Apoi, după teorema despre trei perpendiculare \(HC\perp c\) , \(HB\perp b\) . Din moment ce \(AB=AC\) , atunci \(\triunghi AHB=\triunghi AHC\) dreptunghiular de-a lungul ipotenuzei și catetei. Prin urmare, \(HB=HC\) . Aceasta înseamnă că \(OH\) ​​​​este bisectoarea unghiului \(BOC\) (deoarece punctul \(H\) este echidistant de laturile unghiului).

Rețineți că în acest fel am construit și unghiul liniar al unghiului diedru format din planul format din dreptele \(a\) și \(c\) și planul format din dreptele \(b\) și \(c). \) . Acesta este unghiul \(ACH\) .

Să găsim acest unghi. Deoarece am ales punctul \(A\) în mod arbitrar, să-l alegem astfel încât \(OA=2\) . Apoi, în dreptunghiular \(\triunghi AOC\): \[\sin 60^\circ=\dfrac(AC)(OA) \quad\Rightarrow\quad AC=\sqrt3 \quad\Rightarrow\quad OC=\sqrt(OA^2-AC^2)=1.\ ] Deoarece \(OH\) ​​​​este o bisectoare, atunci \(\angle HOC=30^\circ\), prin urmare, într-un dreptunghiular \(\triunghi HOC\): \[\mathrm(tg)\,30^\circ=\dfrac(HC)(OC)\quad\Rightarrow\quad HC=\dfrac1(\sqrt3).\] Apoi din dreptunghiul \(\triunghiul ACH\): \[\cos\angle \alpha=\cos\angle ACH=\dfrac(HC)(AC)=\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad \cos^(-1)\alpha=3.\]

Raspuns: 3

Sarcina 4 #2910

Nivel de sarcină: Mai dificil decât examenul de stat unificat

Planele \(\pi_1\) și \(\pi_2\) se intersectează de-a lungul dreptei \(l\) pe care se află punctele \(M\) și \(N\). Segmentele \(MA\) și \(MB\) sunt perpendiculare pe dreapta \(l\) și se află în planurile \(\pi_1\) și respectiv \(\pi_2\) și \(MN = 15). \) , \(AN = 39\) , \(BN = 17\) , \(AB = 40\) . Găsiți \(3\cos\alpha\) , unde \(\alpha\) este unghiul dintre planele \(\pi_1\) și \(\pi_2\) .

Triunghiul \(AMN\) este dreptunghic, \(AN^2 = AM^2 + MN^2\), de unde \ Triunghiul \(BMN\) este dreptunghic, \(BN^2 = BM^2 + MN^2\), din care \Se scrie teorema cosinusului pentru triunghiul \(AMB\): \ Apoi \ Deoarece unghiul \(\alpha\) dintre plane este un unghi ascuțit și \(\angle AMB\) sa dovedit a fi obtuz, atunci \(\cos\alpha=\dfrac5(12)\) . Apoi \

Răspuns: 1,25

Sarcina 5 #2911

Nivel de sarcină: Mai dificil decât examenul de stat unificat

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) este un paralelipiped, \(ABCD\) este un pătrat cu latura \(a\), punctul \(M\) este baza perpendicularei coborâte din punctul \(A_1\) în plan \ ((ABCD)\) , în plus, \(M\) este punctul de intersecție al diagonalelor pătratului \(ABCD\) . Se știe că \(A_1M = \dfrac(\sqrt(3))(2)a\). Aflați unghiul dintre planele \((ABCD)\) și \((AA_1B_1B)\) . Dați răspunsul în grade.

Să construim \(MN\) perpendicular pe \(AB\) așa cum se arată în figură.

Deoarece \(ABCD\) este un pătrat cu latura \(a\) și \(MN\perp AB\) și \(BC\perp AB\) , atunci \(MN\parallel BC\) . Deoarece \(M\) este punctul de intersecție al diagonalelor pătratului, atunci \(M\) este mijlocul lui \(AC\), prin urmare, \(MN\) este linia de mijloc și \(MN =\frac12BC= \frac(1)(2)a\).
\(MN\) este proiecția lui \(A_1N\) pe planul \((ABCD)\), iar \(MN\) este perpendicular pe \(AB\), apoi, după teorema a trei perpendiculare, \ (A_1N\) este perpendicular pe \(AB \) iar unghiul dintre planele \((ABCD)\) și \((AA_1B_1B)\) este \(\angle A_1NM\) .
\[\mathrm(tg)\, \angle A_1NM = \dfrac(A_1M)(NM) = \dfrac(\frac(\sqrt(3))(2)a)(\frac(1)(2)a) = \sqrt(3)\qquad\Rightarrow\qquad\angle A_1NM = 60^(\circ)\]

Raspuns: 60

Sarcina 6 #1854

Nivel de sarcină: Mai dificil decât examenul de stat unificat

Într-un pătrat \(ABCD\) : \(O\) – punctul de intersecție al diagonalelor; \(S\) – nu se află în planul pătratului, \(SO \perp ABC\) . Aflați unghiul dintre planele \(ASD\) și \(ABC\) dacă \(SO = 5\) și \(AB = 10\) .

Triunghiuri dreptunghiulare \(\triunghi SAO\) și \(\triunghi SDO\) sunt egale în două laturi și unghiul dintre ele (\(SO \perp ABC\) \(\Rightarrow\) \(\angle SOA = \angle SOD = 90^\circ\); \(AO = DO\) , deoarece \(O\) – punctul de intersecție al diagonalelor pătratului, \(SO\) – latura comună) \(\Rightarrow\) \(AS = SD\) \(\Rightarrow\) \(\triangle ASD\ ) – isoscel. Punctul \(K\) este mijlocul lui \(AD\), atunci \(SK\) este înălțimea în triunghi \(\triunghiul ASD\), iar \(OK\) este înălțimea în triunghi \( AOD\) \(\Rightarrow\) plan \(SOK\) este perpendicular pe planurile \(ASD\) și \(ABC\) \(\Rightarrow\) \(\angle SKO\) – unghi liniar egal cu unghiul dorit unghi diedru.

În \(\triunghi SKO\): \(OK = \frac(1)(2)\cdot AB = \frac(1)(2)\cdot 10 = 5 = SO\)\(\Rightarrow\) \(\triangle SOK\) – triunghi dreptunghic isoscel \(\Rightarrow\) \(\angle SKO = 45^\circ\) .

Raspuns: 45

Sarcina 7 #1855

Nivel de sarcină: Mai dificil decât examenul de stat unificat

Într-un pătrat \(ABCD\) : \(O\) – punctul de intersecție al diagonalelor; \(S\) – nu se află în planul pătratului, \(SO \perp ABC\) . Aflați unghiul dintre planele \(ASD\) și \(BSC\) dacă \(SO = 5\) și \(AB = 10\) .

Triunghiuri dreptunghiulare \(\triangle SAO\) , \(\triangle SDO\) , \(\triangle SOB\) și \(\triangle SOC\) sunt egale în două laturi și unghiul dintre ele (\(SO \perp ABC). \) \(\Sageata dreapta\) \(\angle SOA = \angle SOD = \angle SOB = \angle SOC = 90^\circ\); \(AO = OD = OB = OC\), deoarece \(O\) – punctul de intersecție al diagonalelor pătratului, \(SO\) – latura comună) \(\Rightarrow\) \(AS = DS = BS = CS\) \(\Rightarrow\) \( \triunghiul ASD\) și \(\triunghiul BSC\) sunt isoscele. Punctul \(K\) este mijlocul lui \(AD\), atunci \(SK\) este înălțimea în triunghi \(\triunghiul ASD\), iar \(OK\) este înălțimea în triunghi \( AOD\) \(\ Săgeată la dreapta\) planul \(SOK\) este perpendicular pe planul \(ASD\) . Punctul \(L\) este mijlocul lui \(BC\), atunci \(SL\) este înălțimea în triunghi \(\triunghiul BSC\), iar \(OL\) este înălțimea în triunghi \( BOC\) \(\ Săgeată la dreapta\) planul \(SOL\) (alias planul \(SOK\)) este perpendicular pe planul \(BSC\) . Astfel, obținem că \(\angle KSL\) este un unghi liniar egal cu unghiul diedric dorit.

\(KL = KO + OL = 2\cdot OL = AB = 10\)\(\Rightarrow\) \(OL = 5\) ; \(SK = SL\) – înălțimi în triunghiuri isoscele egale, care pot fi găsite folosind teorema lui Pitagora: \(SL^2 = SO^2 + OL^2 = 5^2 + 5^2 = 50\). Se poate observa că \(SK^2 + SL^2 = 50 + 50 = 100 = KL^2\)\(\Rightarrow\) pentru un triunghi \(\triangle KSL\) teorema inversă a lui Pitagora este valabilă \(\Rightarrow\) \(\triangle KSL\) – triunghi dreptunghic \(\Rightarrow\) \(\angle KSL = 90 ^\ circ\) .

Raspuns: 90

Pregătirea elevilor pentru a susține examenul de stat unificat la matematică, de regulă, începe cu repetarea formulelor de bază, inclusiv a celor care vă permit să determinați unghiul dintre planuri. În ciuda faptului că această secțiune de geometrie este acoperită suficient de detaliat în programa școlară, mulți absolvenți trebuie să repete materialul de bază. Înțelegând cum să găsească unghiul dintre avioane, elevii de liceu vor putea calcula rapid răspunsul corect atunci când rezolvă o problemă și vor conta pe primirea unor scoruri decente la rezultatele promovării examenului unificat de stat.

Nuanțe principale

Pentru a vă asigura că întrebarea despre cum să găsiți un unghi diedric nu provoacă dificultăți, vă recomandăm să urmați un algoritm de soluție care vă va ajuta să faceți față sarcinilor de examinare unificată de stat.

Mai întâi trebuie să determinați linia dreaptă de-a lungul căreia se intersectează planurile.

Apoi trebuie să selectați un punct pe această linie și să desenați două perpendiculare pe acesta.

Următorul pas este găsirea funcției trigonometrice a unghiului diedric format de perpendiculare. Cel mai convenabil mod de a face acest lucru este cu ajutorul triunghiului rezultat, din care unghiul face parte.

Răspunsul va fi valoarea unghiului sau a funcției sale trigonometrice.

Pregătirea pentru examenul cu Shkolkovo este cheia succesului tău

În timpul orelor în ajunul promovării Examenului de stat unificat, mulți școlari se confruntă cu problema găsirii definițiilor și formulelor care să le permită să calculeze unghiul dintre 2 planuri. Un manual școlar nu este întotdeauna la îndemână exact când este necesar. Și pentru a găsi formulele și exemplele necesare pentru aplicarea lor corectă, inclusiv pentru găsirea online a unghiului dintre avioane pe Internet, uneori trebuie să petreceți mult timp.

Portalul matematic Shkolkovo oferă o nouă abordare a pregătirii pentru examenul de stat. Cursurile de pe site-ul nostru web îi vor ajuta pe studenți să identifice cele mai dificile secțiuni pentru ei înșiși și să umple golurile în cunoștințe.

Am pregătit și am prezentat clar tot materialul necesar. Definițiile și formulele de bază sunt prezentate în secțiunea „Informații teoretice”.

Pentru a înțelege mai bine materialul, vă sugerăm și practicarea exercițiilor adecvate. O selecție largă de sarcini de diferite grade de complexitate, de exemplu, pe, este prezentată în secțiunea „Catalog”. Toate sarcinile conțin un algoritm detaliat pentru găsirea răspunsului corect. Lista de exerciții de pe site este completată și actualizată în mod constant.

În timp ce exersează rezolvarea problemelor care necesită găsirea unghiului dintre două planuri, elevii au posibilitatea de a salva orice sarcină online ca „Preferate”. Datorită acestui lucru, ei vor putea să revină la acesta de numărul necesar de ori și să discute progresul soluției sale cu un profesor sau un tutore.

Pentru a utiliza previzualizările prezentării, creați un cont Google și conectați-vă la el: https://accounts.google.com

Subtitrările diapozitivelor:

UNGHI DIEDRU Profesor de matematică GOU gimnaziu Nr 10 Eremenko M.A.

Obiectivele principale ale lecției: Introducerea conceptului de unghi diedru și unghiul liniar al acestuia Luați în considerare sarcini pentru aplicarea acestor concepte.

Definiție: Un unghi diedru este o figură formată din două semiplane cu o linie dreaptă de limită comună.

Mărimea unui unghi diedru este mărimea unghiului său liniar. AF ⊥ CD BF ⊥ CD AFB - unghi diedru liniar ACD B

Să demonstrăm că toate unghiurile liniare ale unui unghi diedru sunt egale între ele. Să considerăm două unghiuri liniare AOB și A 1 OB 1. Razele OA și OA 1 se află pe aceeași față și sunt perpendiculare pe OO 1, deci sunt codirecționale. Grinzile OB și OB 1 sunt, de asemenea, co-dirijate. Prin urmare, ∠ AOB = ∠ A 1 OB 1 (ca unghiurile cu laturile co-directionale).

Exemple de unghiuri diedrice:

Definiție: Unghiul dintre două plane care se intersectează este cel mai mic dintre unghiurile diedrice formate de aceste plane.

Sarcina 1: În cubul A ... D 1, găsiți unghiul dintre planele ABC și CDD 1. Raspuns: 90 o.

Problema 2: În cubul A ... D 1, găsiți unghiul dintre planele ABC și CDA 1. Raspuns: 45 o.

Problema 3: În cubul A ... D 1, găsiți unghiul dintre planele ABC și BDD 1. Raspuns: 90 o.

Problema 4: În cubul A ... D 1, găsiți unghiul dintre planele ACC 1 și BDD 1. Raspuns: 90 o.

Problema 5: În cubul A ... D 1, găsiți unghiul dintre planele BC 1 D și BA 1 D. Rezolvare: Fie O punctul mijlociu al lui B D. A 1 OC 1 – unghiul liniar al unghiului diedric A 1 B D C 1.

Problema 6: În tetraedrul DABC toate muchiile sunt egale, punctul M este mijlocul muchiei AC. Demonstrați că ∠ DMB este unghiul liniar al unghiului diedric BACD .

Rezolvare: Triunghiurile ABC și ADC sunt regulate, prin urmare, BM ⊥ AC și DM ⊥ AC și deci ∠ DMB este unghiul liniar al unghiului diedru DACB.

Problema 7: Din vârful B al triunghiului ABC, a cărui latură AC se află în planul α, se trasează o perpendiculară BB 1 pe acest plan. Aflați distanța de la punctul B la dreapta AC și la planul α, dacă AB=2, ∠ВАС=150 0 și unghiul diedric ВАСВ 1 este egal cu 45 0.

Rezolvare: ABC este un triunghi obtuz cu unghi obtuz A, prin urmare baza altitudinii BC se află pe prelungirea laturii AC. VC – distanța de la punctul B la AC. BB 1 – distanța de la punctul B la planul α

2) Deoarece AC ⊥BK, atunci AC⊥KB 1 (prin teorema inversă teoremei aproximativ trei perpendiculare). Prin urmare, ∠VKV 1 este unghiul liniar al unghiului diedric BASV 1 și ∠VKV 1 =45 0 . 3) ∆VAK: ∠A=30 0, VK=VA·sin 30 0, VK =1. ∆ВКВ 1: ВВ 1 =ВК· sin 45 0 , ВВ 1 =

Stereometrie

Capitolul 9. Drepte și plane în spațiu

9.8. Unghiul diedric și unghiul său liniar

Un avion este împărțit de o linie care se află în el în două semiplane.

Definiția 1

O figură formată din două semiplane care ies dintr-o linie dreaptă, împreună cu partea de spațiu limitată de aceste semiplane, se numește unghi diedru. Semiplanurile se numesc fețe, iar linia lor dreaptă comună se numește muchia unui unghi diedru.

Fețele unui unghi diedric împart spațiul în două regiuni: regiunea internă a unui unghi diedru dat și regiunea sa externă.

Definiția 2

Se spune că două unghiuri diedrice sunt egale dacă unul dintre ele poate fi combinat cu celălalt, astfel încât regiunile lor interne să fie aliniate.

Definiția 3

Unghiul dintre două perpendiculare pe muchia unui unghi diedru, desenat pe fețele sale dintr-un punct de pe muchie, se numește unghiul liniar al unghiului diedru.

1 . Unghiul () obținut atunci când un unghi diedru este intersectat de un plan perpendicular pe muchia sa este unghiul liniar al unghiului diedric dat.

2. Mărimea unghiului liniar nu depinde de poziția vârfului său pe margine, adică.

3. Unghiurile liniare cu unghiuri diedrice egale sunt egale (reduce din definițiile 2 și 3).

Definiția 4

Dintre două unghiuri diedrice, cel care are unghiul liniar mai mare (mai mic) se numește cel mai mare (mai mic). Unitățile de măsură pentru unghiurile diedrice sunt acele unghiuri diedrice ale căror unghiuri liniare sunt egale

În geometrie, pentru studiul figurilor se folosesc două caracteristici importante: lungimile laturilor și unghiurile dintre ele. În cazul figurilor spațiale, la aceste caracteristici se adaugă unghiuri diedrice. Să ne uităm la ce este și să descriem, de asemenea, metoda de determinare a acestor unghiuri folosind exemplul unei piramide.

Conceptul de unghi diedru

Toată lumea știe că două drepte care se intersectează formează un anumit unghi cu vârful în punctul de intersecție. Acest unghi poate fi măsurat folosind un raportor sau puteți utiliza funcții trigonometrice pentru a-l calcula. Un unghi format din două unghiuri drepte se numește liniar.

Acum imaginați-vă că în spațiul tridimensional există două plane care se intersectează într-o linie dreaptă. Sunt prezentate în imagine.

Un unghi diedru este unghiul dintre două plane care se intersectează. La fel ca și liniar, se măsoară în grade sau radiani. Dacă în orice punct al liniei de-a lungul căreia planele se intersectează, restabilim două perpendiculare situate în aceste plane, atunci unghiul dintre ele va fi diedrul dorit. Cel mai simplu mod de a determina acest unghi este de a folosi ecuațiile planelor în formă generală.

Ecuația planelor și formula pentru unghiul dintre ele

Ecuația oricărui plan din spațiu se scrie în general după cum urmează:

A × x + B × y + C × z + D = 0.

Aici x, y, z sunt coordonatele punctelor aparținând planului, coeficienții A, B, C, D sunt niște numere cunoscute. Comoditatea acestei egalități pentru calcularea unghiurilor diedrice este că conține în mod explicit coordonatele vectorului de direcție al planului. O vom nota n¯. Apoi:

Vectorul n¯ este perpendicular pe plan. Unghiul dintre două plane este egal cu unghiul dintre n 1 ¯ și n 2 ¯ lor. Din matematică se știe că unghiul format din doi vectori este determinat în mod unic din produsul lor scalar. Acest lucru ne permite să scriem o formulă pentru calcularea unghiului diedric dintre două plane:

φ = arccos (|(n 1 ¯ × n 2 ¯)| / (|n 1 ¯| × |n 2 ¯|)).

Dacă înlocuim coordonatele vectorilor, formula va fi scrisă explicit:

φ = arccos (|A 1 × A 2 + B 1 × B 2 + C 1 × C 2 | / (√(A 1 2 + B 1 2 + C 1 2) × √(A 2 2 + B 2 2 + C 2 2))).

Semnul modulului din numărător este folosit pentru a defini doar unghiul ascuțit, deoarece unghiul diedrul este întotdeauna mai mic sau egal cu 90 o.

Piramida și colțurile ei

O piramidă este o figură care este formată dintr-un n-gon și n triunghiuri. Aici n este un număr întreg egal cu numărul de laturi ale poligonului care este baza piramidei. Această figură spațială este un poliedru sau poliedru, deoarece este alcătuită din fețe plate (laturi).

Poliedrele piramidale pot fi de două tipuri:

• între bază și latură (triunghi);
• intre cele doua laturi.

Dacă luăm în considerare o piramidă obișnuită, atunci unghiurile numite pentru aceasta nu sunt dificil de determinat. Pentru a face acest lucru, folosind coordonatele a trei puncte cunoscute, ar trebui să creați o ecuație a planurilor și apoi să utilizați formula dată în paragraful de mai sus pentru unghiul φ.

Mai jos dăm un exemplu în care arătăm cum să găsim unghiuri diedrice la baza unei piramide patruunghiulare regulate.

Patraunghiular și unghiul de la baza acestuia

Să presupunem că ni se oferă o piramidă regulată cu bază pătrată. Lungimea laturii pătratului este a, înălțimea figurii este h. Să găsim unghiul dintre baza piramidei și latura ei.

Să plasăm originea sistemului de coordonate în centrul pătratului. Atunci coordonatele punctelor A, B, C, D prezentate în figură vor fi egale:

A = (a/2; -a/2; 0);

B = (a/2; a/2; 0);

C = (-a/2; a/2; 0);

Să luăm în considerare avioanele ACB și ADB. Evident, vectorul direcție n 1 ¯ pentru planul ACB va fi egal cu:

Pentru a determina vectorul de direcție n 2 ¯ al planului ADB, procedăm astfel: găsim arbitrar doi vectori care îi aparțin, de exemplu, AD¯ și AB¯, apoi le calculăm produsul vectorial. Rezultatul său va da coordonatele n 2 ¯. Avem:

AD¯ = D - A = (0; 0; h) - (a/2; -a/2; 0) = (-a/2; a/2; h);

AB¯ = B - A = (a/2; a/2; 0) - (a/2; -a/2; 0) = (0; a; 0);

n 2 ¯ = = [(-a/2; a/2; h) × (0; a; 0)] = (-a × h; 0; -a 2 /2).

Deoarece înmulțirea și împărțirea unui vector cu un număr nu îi schimbă direcția, transformăm rezultatul n 2 ¯ împărțind coordonatele sale la -a, obținem:

Am definit vectorii de direcție n 1 ¯ și n 2 ¯ pentru planurile de bază ACB și planul lateral ADB. Rămâne să folosiți formula pentru unghiul φ:

φ = arccos (|(n 1 ¯ × n 2 ¯)| / (|n 1 ¯| × |n 2 ¯|)) = arccos (a / (2 × √h 2 + a 2 /4)).

Să transformăm expresia rezultată și să o rescriem astfel:

φ = arccos (a / √(a 2 + 4 × h 2)).

Am obținut o formulă pentru unghiul diedric de la bază pentru o piramidă patruunghiulară obișnuită. Cunoscând înălțimea figurii și lungimea laturii acesteia, puteți calcula unghiul φ. De exemplu, pentru piramida Cheops, a cărei latură de bază este de 230,4 metri și înălțimea inițială a fost de 146,5 metri, unghiul φ va fi egal cu 51,8 o.

Puteți determina, de asemenea, unghiul diedric pentru o piramidă regulată patruunghiulară folosind metoda geometrică. Pentru a face acest lucru, este suficient să luăm în considerare un triunghi dreptunghic format din înălțimea h, jumătate din lungimea bazei a/2 și apotema unui triunghi isoscel.

Menținerea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să examinați practicile noastre de confidențialitate și să ne comunicați dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele dvs., numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm cu oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și comunicări importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o tragere la sorți, la un concurs sau la o promoție similară, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea informațiilor către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• Dacă este necesar - în conformitate cu legea, procedura judiciară, în procedurile judiciare și/sau pe baza solicitărilor publice sau a solicitărilor din partea autorităților guvernamentale de pe teritoriul Federației Ruse - de a vă dezvălui informațiile personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de importanță publică.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, este posibil să transferăm informațiile personale pe care le colectăm terței părți succesoare aplicabile.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Respectarea vieții private la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri standarde de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.